Radjaïdjah Blog

jeudi 4 février 2021

Galois theory

Today, the best thing to do is probably to (re-)study Galois theory.

Here is a great online Galois theory course by Richard E. Borcherds (Fields medal).


mardi 10 novembre 2020

L'art des maths

Le colloque Wright pour la science 2020 était consacré cette année à l'art des mathématiques. À distance, C19 oblige.

Au programme :

Le chaos: imprévisible mais compréhensible (Etienne Ghys)

Il est inhabituel qu’une idée mathématique se diffuse dans la société. C’est pourtant le cas avec la théorie du chaos, popularisée grâce à l’effet papillon, imaginé par le météorologue américain Edward Lorenz qui, en 1972, a posé la fameuse question: «Le battement des ailes d’un papillon au Brésil déclenche-t-il une tornade au Texas?». L’idée dans cette image est qu’une cause minime peut avoir de grandes conséquences. Mais peut-on résumer la théorie du chaos d’une manière aussi simpliste? Une théorie scientifique peut-elle se contenter d’énoncés négatifs? Les mathématiciennes et les mathématiciens sont-ils responsables de la transmission inadéquate de cette théorie? Cette conférence s’appliquera à traiter de ces questions et, en particulier, à décrire le côté positif de la théorie. Car il y en a. En effet, il arrive que le chaos engendre une espèce d’ordre. Les systèmes chaotiques sont peut-être imprévisibles mais ils sont loin d’être incompréhensibles.

Le désordre, le hasard et les grands nombres (Laure Saint-Raymond)

Le désordre augmente de manière irréversible. Cette affirmation ne concerne pas forcément la chambre d’un enfant ni la marche du monde. Elle est l’énoncé du second principe de la thermodynamique, exprimé par le physicien Sadi Carnot en 1824. C’est un principe que l’on peut expérimenter tous les jours. Lorsqu’on verse du lait dans de l’eau, par exemple, les deux liquides se mélangent et ne restent pas séparés l’un de l’autre. Les billes à jouer contenues dans un sac ne vont pas s’aligner spontanément selon leur couleur mais se mêler de manière aléatoire. S’il est facile de mélanger deux gaz, il est quasi impossible de les séparer une fois réunis. Cet exposé propose d’étudier un modèle mathématique simple qui explique pourquoi nous pouvons observer un mélange spontané mais pas le phénomène inverse. Spoiler alert: la clé pour comprendre cette irréversibilité temporelle se trouve dans la théorie des probabilités et plus précisément dans la loi des grands nombre.

Un voyage mathématique De l’infiniment petit à l’infiniment grand (Martin Hairer)

Le monde minuscule des particules et des atomes et celui gigantesque de l’univers tout entier sont séparés par environ une quarantaine d’échelles de grandeur différentes. En passant de l’une à l’autre, les lois de la nature peuvent parfois se comporter de manière drastiquement différente, obéissant tantôt à la physique quantique, à la relativité générale, ou encore à la mécanique classique de Newton, sans parler des autres théories intermédiaires. Comprendre les transformations qui s’opèrent d’une échelle à l’autre est une des grandes questions classiques en mathématiques et en physique théorique. Cet exposé a pour objectif d’explorer comment ces questions informent et motivent encore des problèmes intéressants en théorie des probabilités et pourquoi des «toy models», malgré leur caractère superficiellement ludique, peuvent parfois conduire à certaines prédictions quantitatives.

La musique des formes (Alain Connes)

La physique quantique, en particulier la mécanique des matrices, a exercé une profonde influence sur les notions mathématiques d’espace géométrique. Cette conférence expliquera ce lien en traitant, entre autres, de «spectres» et de la «musique des formes». En effet, si les caractéristiques géométriques d’un instrument, par exemple, déterminent les sons qu’il peut produire, inversement la connaissance de la gamme et des accords produits par un objet suffisent à reconstruire sa forme. Cette propriété permet de caractériser les formes géométriques à partir d’invariants qui ne font pas référence à un système de coordonnées. La nouvelle géométrie qui en découle, illustrant le lien mathématique entre perception visuelle et auditive, est riche d’applications en physique, en particulier pour la gravitation et la physique quantique. Ce sera d’ailleurs aussi l’occasion de discuter de la signification des notions de variabilité et de l’émergence du temps.

Les mathématiques : art ou science ? (Stanislas Smirnov)

Les mathématiques sont une science étonnante et mystérieuse. Depuis l’époque de Platon, les philosophes se demandent si les objets mathématiques sont imaginaires ou réels, tandis que les mathématiciens et mathématiciennes démontrent des théorèmes, souvent sans s’interroger sur leur rapport à la réalité. En même temps, des pharaons d’Egypte et des rois de Babylone avaient déjà saisi l’importance pratique des mathématiques, sans parler des progrès technologiques recents reposant en grande partie sur des applications de notre science.

D’où viennent les mathématiques ? Comment les scientifiques choisissent-ils des problèmes à résoudre et pourquoi trouvent-ils les mathématiques si fascinantes ? Pourquoi la science « imaginaire » est si utile dans le monde réel ? Cet exposé ne parviendra pas à répondre à ces questions, mais essaiera de jeter un peu de lumière sur la recherche en mathématiques.

Bonus : une présentation par l'auteur du Radjaïdjah Blog sur le mathématicien Benoît Mandelbrot.

Enfin, ceux qui s'interrogent sur la finalité des maths pourront lire À quoi servent les maths ? (2015).

lundi 27 avril 2020

Srinivasa Ramanujan 1887-1920

Srinivasa Ramanujan

These results must be true, because, if they were not true, no one would have the imagination to invent them.

G.H. Hardy on Ramanujan

jeudi 14 mars 2019

pi Day

A treat for pi day (3.14).




Happy π day!

lundi 5 mars 2018

Hashquines

Voici une image.

hashquine-md5-demo.gif

Cette image affiche son propre hash md5, d'où son titre de hashquine en hommage aux quine de Gödel Escher Bach, programmes qui affichent exactement leur propre code source.

PS : si vous trouvez une collision de SHA256, RIPE160, RIPE160(SHA256), ou SHA256(SHA256), il est encore temps de clamer votre récompense. Pour SHA-1, c'est trop tard...

jeudi 29 juin 2017

5 nuances de complexité

Oui, c'est vrai, certains articles sur le blog sont assez incompréhensibles, allez, disons pour être charitable, peu clairs.

Peut-être le blog devrait-il avoir recours à une forme de pédagogie stratifiée, qui consiste à présenter le même sujet cinq fois à destination de cinq audiences différentes, à expertise croissante (en théorie).

  • enfant de 5 ans (ELI5 pour Reddit)
  • ado de 13 ans
  • étudiant
  • thésard
  • spécialiste

Illustrations (apportées par le magazine américain Wired) :

Un neuroscientifique explique le "Connectome" 5 fois consécutives

Un biologiste explique CRISPR 5 fois consécutives

Cela pourrait aider à clarifier et vulgariser certains articles, à envisager.

vendredi 2 décembre 2016

Le modèle Janus

Le modèle cosmologique Janus, un texte très intéressant du physicien Jean-Pierre Petit. Plus de détails peut-être à venir.

vendredi 23 septembre 2016

Ascenseurs de Chabbat

Le rabbin David Sedley nous rappelle une anecdote extraite de la biographie de Richard Feynman, un des plus grands physiciens du XXe siècle, intitulée Surely you're joking, Mr. Feynman![1].

Anecdote de Richard Feynman (en anglais) Anecdote de Richard Feynman (en anglais)

A footnote: While I was at the conference, I stayed at the Jewish Theological Seminary, where young rabbis - I think they were Orthodox - were studying. Since I have a Jewish background, I knew of some of the things they told me about the Talmud, but I had never seen the Talmud. It was very interesting. It's got big pages, and in a little square in the corner of the page is the original Talmud, and then in a sort of L-shaped margin, all around this square, are commentaries written by different people. The Talmud has evolved, and everything has been discussed again and again, all very carefully, in a medieval kind of reasoning. I think the commentaries were shut down around the thirteen or fourteen- or fifteen-hundreds - there hasn't been any modern commentary. The Talmud is a wonderful book, a great big potpourri of things: trivial questions, and difficult questions - for example problems of teachers, and how to teach - and then some trivia again, and so on. The students told me that the Talmud was never translated, something I thought was curious, since the book is so valuable.
One day, two or three of the young rabbis came to me and said, "We realize that we can't study to be rabbis in the modern world without knowing something about science, so we'd like to ask you some questions."
Of course there are thousands of places to find out about science, and Columbia University was right near there, but I wanted to know what kinds of questions they were interest in.
They said, "Well, for instance, is electricity fire?"
"No," I said, "but... what is the problem?"
They said, "In the Talmud it says that you're not supposed to make fire on a Saturday, so our question is, can we use electrical things on Saturdays?"
I was shocked. They weren't interested in science at all! The only way science was influencing their lives was so they might be able to interpret better the Talmud! They weren’t' interested in the world outside, in natural phenomena; they were only interested in resolving some question brought up in the Talmud.
And then one day - I guess it was a Saturday - I want to go up in the elevator, and there's a guy standing near the elevator. The elevator comes, I go in, and he goes in with me. I saw, "Which floor?" and my hand's ready to push one of the buttons. "No, no!" he says, "I'm supposed to push one of the buttons for you.
"What?"
"Yes!" The boys here can't push the buttons on Saturday, so I have to do it for them. You see, I'm not Jewish, so it's all right for me to push the buttons. I stand near the elevator, and they tell me what floor, and I push the button for them."
Well this really bothered me, so I decided to trap the students in a logical discussion. I had been brought up in a Jewish home, so I knew the kind of nitpicking logic to use, and I thought "Here's fun!"
My plan went like this: I'd start off by asking, "Is the Jewish viewpoint a viewpoint that any man can have? Because if it is not, then it's certainly not something that is truly valuable for humanity... yak, yak, yak." And then they would have to say, "Yes, the Jewish viewpoint is good for any man."
Then I would steer them around a little more by asking, "Is it ethical for a man to hire another man to do something which is unethical for him to do? Would you hire a man to rob for you, for instance?" And I keep working them into the channel, very slowly, and very carefully, until I've got them - trapped!
And do you know what happened? They're rabbinical students, right? They were ten times better than I was! AS son as they saw I could put them in a hole, they went twist, turn, twist - I can't remember how - and they were free! I thought I had come up with an original idea - phooey! It had been discussed in the Talmud for ages! So they cleaned me up just as easy as pie - they got right out.
...
Something else happened at that time which is worth mentioning here. One of the questions the rabbinical students and I discussed at some length was why it is that in academic things, such as theoretical physics, there is a higher proportion of Jewish kids than their proportion in the general population. They rabbinical students thought the reason was that the Jews have a history of respecting learning: They respect their rabbis, who are really teachers, and they respect education. The Jews pass on this tradition in their families all the time, so that if a boy is a good student, it's as good as, if not better than, being a good football player.
It was the same afternoon that I was reminded how true it is. I was invited to one of the rabbinical students' home, and he introduced me to his mother, who had just come back from Washington, D.C. She clapped her hands together, in ecstasy, and said, "Oh! My day is complete. Today I met a general, and a professor!"
I realized that there are not many people who think it's just as important, and just as nice, to meet a professor as to meet a general. So I guess there's something in what they said.

Ce récit soulève la question de l'utilisation des ascenseurs pendant Chabbat. Comme de nombreux sujets dans le judaïsme, c'est une problématique qui apparait toute simple mais qui en profondeur est assez complexe.

Durant Chabbat (en gros du vendredi soir au samedi soir), jour qui correspond au repos de Dieu après avoir créé le monde, les juifs ont 39 interdictions à respecter. Ces 39 interdictions se rapportent aux 39 travaux nécessaires à la construction du Temple. L'une d'elle, l'interdiction d'allumer un feu, a été modernisée en : interdiction de modifier la tension électrique d'un appareil. Ainsi il est interdit d'allumer ou d'éteindre la lumière durant Chabbat.

Passons les problèmes inhérents aux appareils électroménagers du type réfrigérateur ou four électrique, et intéressons-nous aux ascenseurs.

Il parait assez clair que l'utilisation normale d'un ascenseur transgresse un interdit de Chabbat, puisque le fait d'appuyer sur le bouton de l'étage de destination actionne le moteur de l'ascenseur.

On peut poser alors la question : oui mais si c'est un goy qui appuie sur le bouton ?

Les réponses usuelles sont alors :

Si le goy appuie sur le bouton de son étage, c'est ok, car il fait l'action pour lui-même, en revanche s'il appuie sur le bouton de l'étage du juif (comme dans le récit de Feynman) ce n'est pas ok car le juif profite directement de cette action.

Bien sûr, ce n'est pas si simple, car pour des questions de sécurité la plupart des ascenseurs modernes sont équipés d'un faisceau infrarouge au niveau de l'entrée, dont la coupure entraîne la réouverture des portes, afin d'empêcher que les portes se refement sur quelqu'un en train d'entrer ou de sortir.

Mais même, en admettant que l'ascenseur n'ait pas de faisceau infrarouge ou que l'on puisse sortir assez rapidement sans l'actionner, est également soulevé un problème d'apparence, car que va penser un juif en voyant un autre juif prendre l'ascenseur pendant Chabbat ? Il suffit de l'informer, répondra-t-on.

Évidemment, en creusant un peu, d'autres questions surgissent, et c'est là que le sujet devient scientifique. L'ajout d'une personne juive dans l'ascenseur ne provoque-t-elle pas un poids supplémentaire dans la cabine, donc une augmentation de la puissance du moteur lors de l'utilisation, voire la création d'étincelles ? Oui, pour les ascenseurs standards, disent de nombreux rabbins. Plus précisément, un ascenseur standard pourrait entre autres :

  • déclencher le mécanisme de ralentissement avant l'arrivée du fait du poids des personnes à bord
  • déclencher la lumière intérieure de l'étage en cours du fait de la présence des occupants
  • déclencher l'ouverture des portes, comme mentionné précédemment

De fait certaines autorités religieuses, comme le rabbin lithuanien Yossef Chalom Elyachiv, ont complètement prohibé l'utilisation d'ascenseurs durant Chabbat.

D'un autre côté, des esprits créatifs ont conçu l'ascenseur de Chabbat. Un ascenseur spécial, qui, en mode Chabbat, fonctionne toujours à pleine puissance, s'arrête automatiquement à tous les étages, bref évite tous les problèmes sus-cités. Des brevets ont même été déposés.

L'Institut Tsomet dirigé par le Rabbin Yisrael Rosen a étudié le problème plus en détails (on atteint déjà une bonne dizaine de pages) pour arriver à toutes les conditions que doit satisfaire un ascenseur pour que ses utilisateurs chabbatiques ne transgressent aucune interdiction.

En conclusion, deux juifs, trois avis !

Note : la motivation initiale de cet article était de savoir si un paternoster[2] pouvait faire office d'ascenseur de Chabbat.

Un paternoster

Notes

[1] Interjection à laquelle selon la légende Richard Feynman aurait répondu : No I'm not joking. And don't call me Shirley.

[2] Le site 99% invisible (99pi pour les intimes) est une mine d'or pour les amateurs d'architecture urbaine. Voir par exemple cet article sur les Ampelmännchen (signaux lumineux pour le passage des piétons aux feux rouges) de différentes villes du monde.

lundi 21 mars 2016

Insomni'Hack

Le week-end précédent avait lieu Insomni'hack 2016, avec ses conférences, ses ateliers, et son concours nocturne, avec pour partenaire, entre autres, la revue MISC.

Insomnihack 2016

Les défis du concours couvraient diverses thématiques : analyse de binaires, failles web, escalade de privilèges, etc. L'objectif pour chaque défi était de trouver un flag.

Un des défis les plus intéressants fut Smart Cat 3, un simple formulaire de ping en ligne où il était possible d'injecter du code en shell, mais avec des filtres de caractères côté serveur.

Bravo à l'équipe gagnante, Dragon Sector, de Pologne.

jeudi 18 février 2016

Mental Poker

Playing mental poker is a difficult problem for a number of reasons. The foremost reason is that it is impossible, a result due to Shamir, Rivest and Adleman[1].

G.R. Blakley and D. Chaum

During Lift16, Ethereum / Consensys presented a number of very promising projects.

Almost all of these projects are based on a mysterious entity called the blockchain. More precisely, not the Bitcoin blockchain, but a private blockchain called the Ethereum blockchain.

Then was a gambling-related project: etherPoker.

etherPoker is advertised as a blockchain-connected provably fair online poker game. The underlying mechanism is based on mental poker, a term coined by RSA's creators, Ron Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman.

Provably fair dice, a popular extension of online coin-flipping (bit commitment) works as such:

  1. a server seed is generated and its hash is provided to the client
  2. the player inputs a client seed
  3. a nonce (number of times that the server seed has been used) enters the game
  4. the player chooses a winning range
  5. a magic number deterministically created from the server seed, the client seed, and the nonce is computed
  6. if the magic number falls in the winning range, the player wins
  7. the nonce is incremented for the next round
  8. the player can verify his numbers by asking the server to reveal the server seed

In poker, an algorithm for shuffling cards using commutative encryption would be as follows:

  1. Alice and Bob agree on a certain "deck" of cards. In practice, this means they agree on a set of numbers or other data such that each element of the set represents a card.
  2. Alice picks an encryption key A and uses this to encrypt each card of the deck.
  3. Alice shuffles the cards.
  4. Alice passes the encrypted and shuffled deck to Bob. With the encryption in place, Bob cannot know which card is which.
  5. Bob picks an encryption key B and uses this to encrypt each card of the encrypted and shuffled deck.
  6. Bob shuffles the deck.
  7. Bob passes the double encrypted and shuffled deck back to Alice.
  8. Alice decrypts each card using her key A. This still leaves Bob's encryption in place though so she cannot know which card is which.
  9. Alice picks one encryption key for each card (A1, A2, etc.) and encrypts them individually.
  10. Alice passes the deck to Bob.
  11. Bob decrypts each card using his key B. This still leaves Alice's individual encryption in place though so he cannot know which card is which.
  12. Bob picks one encryption key for each card (B1, B2, etc.) and encrypts them individually.
  13. Bob passes the deck back to Alice.
  14. Alice publishes the deck for everyone playing (in this case only Alice and Bob, see below on expansion though).

To play poker with bitcoins, the new Seals With Clubs poker site is: SWCpoker.

To play for fun, download PokerTH (Radjaïdjah Blog's alias: BluffBluff).

Note

[1] A. Shamir, R. Rivest, and L. Adleman, Mental Poker, Technical Report LCS/TR-125, Massachusetts Institute of Technology, April 1979

mercredi 2 décembre 2015

Centenaire de la RG

2015 est l'année mondiale de la lumière, et le centenaire de la théorie de la relativité générale, dont l'article séminal Feldgleichungen der Gravitation (The Field Equations of Gravitation) a été finalisé le 25 novembre 1915 pour être publié le 2 décembre 1915 dans les Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. Cet article introduisait l'équation d'Einstein :

Einstein's Equation

Un article du Monde, intitulé Comment la théorie de la relativité d’Einstein a changé nos vies, présente quelques applications de la théorie de la relativité générale (le GPS), et de la relativité restreinte. Pas très rigoureux mais bienvenu pour célébrer cet anniversaire.

lundi 5 octobre 2015

Nostalgia de la luz

Nostalgia de la luz (Nostalgie de la lumière) est un documentaire de Patricio Guzmán sur le désert d'Atacama au Chili, abritant des télescopes permettant aux astronomes de découvrir le passé de l'univers, et des anciennes prisons secrètes datant de Pinochet. Là-bas, chacun a une quête.

Numéro 1134 et un des rares documentaires de la liste "1001 Movies You Must Watch Before You Die" éditée par Steven Schneider.

Nostalgia de la luz

jeudi 24 septembre 2015

Paradoxe de l'échelle

La nouvelle année donne l'occasion de rappeler que 2015 est l'année internationale de la lumière, qui a même son blog.

À ce propos, l'expérience de pensée dite paradoxe de l'échelle (ladder paradox[1]), en relativité restreinte, est la suivante :

« Un coureur très rapide court à 0,9c en portant sur son épaule une échelle de 10 mètres. Il doit traverser une grange de 10 mètres dont on peut fermer les deux portes opposées simultanément (par exemple par des faisceaux laser).

Du point de vue de l'observateur lié à la grange, l'échelle est très rétrécie dans le sens du parcours, et il sera facile de fermer les «portes» sans dommage un très bref instant quand l'échelle ainsi rétrécie sera dans la grange. Mais dans le système lié au coureur, c'est la grange elle-même qui est rétrécie dans le sens du parcours, et l'opération est impossible ! N'y a-t-il pas là une contradiction, puisqu'en relativité les phénomènes sont censés justement ne pas dépendre du repère depuis lequel on les observe ? »

Le paradoxe de l'échelle

Ci-dessus : (1) : grange et échelle au repos, (2) : en action du point de vue de la grange, (3) : en action du point de vue du coureur.

Résolution qualitative de ce paradoxe : il y a effectivement une contradiction, mais c'est dans l'énoncé qu'elle se trouve : il s'agit de l'emploi du mot «simultanément» : ce qui est simultané dans un repère ne l'est pas dans un autre. Le coureur verra apparemment la porte 1 s'ouvrir, puis les deux portes rester ouvertes simultanément pour lui, et la seconde se fermer sans encombre derrière son passage.

Regardons une résolution plus quantitative du paradoxe.




Tout d'abord, la longueur de l'échelle dans la figure 2, \(d^G_{E}\) est égale à la longueur de l'échelle au repos \(d^0_{E}\) divisée par le facteur de Lorentz \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx2,29\), soit environ \(4,36\,m\) si \(v=0,9c\) (contraction de la longueur propre décrite par les transformations de Lorentz). Il en est de même pour la distance entre les portes dans la figure 3, \(d^C_{P}=d^0_{P}/\gamma\).

On considère l'évènement « l'échelle rentre dans la grange » comme zéro spatio-temporel dans les deux référentiels.

Dans le référentiel G de la grange, la distance entre les portes est \(d^G_{P} = 10\,m\) et l'échelle mesure \(d^G_{E} \approx 4,36\,m\) ).

  • I - Le premier échelon entre dans la grange à \(t^G_{1\rightarrow} = 0\).
  • II - Le dernier échelon entre dans la grange à \(t^G_{D\rightarrow} = d^G_{E}/v \approx 16\,ns\).
  • III - Le premier échelon sort de la grange à \(t^G_{\rightarrow 1} = t^G_{1\rightarrow}+d^G_{P}/v \approx 37\,ns\).
  • IV - Le dernier échelon sort de la grange à \(t^G_{\rightarrow D} = t^G_{2\rightarrow}+d^G_{P}/v \approx 53\,ns\).

Conclusion 1 : dans le référentiel de la grange, le dernier échelon entre dans la grange avant que le premier échelon n'en sorte, donc un intervenant extérieur pourrait bien enfermer l'échelle dans la grange durant quelques nanosecondes (fermeture puis ouverture simultanées des deux portes), par exemple avec \(t^G_{1\downarrow}=t^G_{2\downarrow}:=t^G_{D\rightarrow} \approx 16\,ns\) et \(t^G_{1\uparrow}=t^G_{2\uparrow}:=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns\).

Paradoxe de l'echelle - référentiel de la grange

Ci-dessus : Paradoxe de l'échelle - point de vue de la grange.



Dans le référentiel C du coureur, la distance entre les portes est \(d^C_{P} \approx 4,36\,m\) et l'échelle mesure \(d^C_{E} = 10\,m\).

  • I - Le premier échelon entre dans la grange à \(t^C_{1\rightarrow} = 0\).
  • III - Le premier échelon sort de la grange à \(t^C_{\rightarrow 1} = t^C_{1\rightarrow}+d^C_{P}/v \approx 16\,ns\).
  • II - Le dernier échelon entre dans la grange à \(t^C_{D\rightarrow} = d^C_{E}/v \approx 37\,ns\).
  • IV - Le dernier échelon sort de la grange à \(t^C_{\rightarrow D} = t^C_{2\rightarrow}+d^C_{P}/v \approx 53\,ns\).

Conclusion 2a : dans le référentiel du coureur, le premier échelon sort de la grange avant que le dernier échelon n'y entre (inversion de l'ordre temporel des évènements), donc l'échelle est toujours plus longue que la grange.

Les évènements "la porte 1 se ferme", "la porte 2 se ferme", "la porte 1 s'ouvre", et "la porte 2 s'ouvre" ont pour coordonnées spatio-temporelles respectives dans le référentiel de la grange :

\( \left\{\begin{array}{ll} x^G_{1\downarrow}=0 \\ t^G_{1\downarrow}=t^G_{D\rightarrow} \approx 16\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{2\downarrow}=d^G_P=10\,m \\ t^G_{2\downarrow}=t^G_{D\rightarrow} \approx16\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{1\uparrow}=0 \\ t^G_{1\uparrow}=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{2\uparrow}=d^G_P=10\,m \\ t^G_{2\uparrow}=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns \end{array}\right. \).

Examinons-les dans le référentiel C du coureur.

  • Pour le coureur, la première porte se ferme à \(t^C_{1\downarrow}=\gamma\cdot {t^G_{1\downarrow}} \approx 37\,ns\) (i.e. quand le dernier échelon rentre dans la grange) puis s'ouvre à \(t^C_{1\uparrow}=\gamma\cdot {t^G_{1\uparrow}} \approx 85\,ns\).
  • Pour le coureur, la seconde porte se ferme à \(t^C_{2\downarrow}=\gamma\cdot \left({t^G_{2\downarrow}- v\cdot d^G_P/c^2}\right) \approx -32\,ns\) puis s'ouvre à \(t^C_{2\uparrow}=\gamma\cdot \left({t^G_{2\uparrow}- v\cdot d^G_P/c^2}\right) \approx 16\,ns\).

Conclusion 2b : du point de vue du coureur, la deuxième porte se ferme avant même que l'échelle ne rentre (il lui reste encore environ 9m avant d'atteindre la grange !), puis s'ouvre juste au moment où le premier échelon sort de la grange, tandis que la première porte se ferme juste quand l'échelle vient de la franchir, pour se réouvrir bien plus tard.

Paradoxe de l'echelle - référentiel du coureur

Ci-dessus : Paradoxe de l'échelle - point de vue du coureur.



On retrouve l'idée de relativité de la simultanéité : pour le coureur les deux portes ne se ferment pas simultanément.

Pour finir, une horloge située dans la grange décompterait 21 secondes entre la fermeture simultanée des deux portes et leur ouverture, alors que le coureur voit 48 secondes (\(\gamma\) fois plus) s'écouler entre la fermeture de la première porte et son ouverture, ou entre la fermeture de la seconde porte et son ouverture. Cela illustre le phénomène de dilatation du temps : le coureur voyant 48 secondes passer sur sa montre observerait l'horloge de la grange n'avancer que de 21 secondes, comme au ralenti. Réciproquement un observateur dans la grange verrait également la montre du coureur tourner au ralenti. L'équivalent temporel du paradoxe de l'échelle est le paradoxe des jumeaux, ou paradoxe de Langevin, déjà évoqué dans l'article sur l'âge du monde.

Question subsidiaire : que se passe-t-il si les portes sont maintenues fermées ?

Références : E. F. Taylor & J.A. Wheeler, Spacetime Physics (problème 5-4), Ladder Paradox, The Pole-Barn paradox.

Note

[1] appelé également Pole-Barn paradox (paradoxe perche-grange).

vendredi 28 août 2015

Towards a loophole-free Bell experiment

For those of you interested in Einstein's spooky action at distance / EPR paradox, or in device-independent quantum key distribution (QKD) / random number generation (QRNG), a paper published this week, Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3 km might be of interest, as the authors state having performed a violation of a Bell inequality free from both detection and locality loopholes. See also the comment in Nature.

Addendum (December 2015): published paper (Nature) and Alain Aspect's viewpoint on the APS website.

jeudi 6 août 2015

Une illustration du théorème de Gödel

Les problèmes importants auxquels nous faisons face ne peuvent être résolus au même niveau de pensée que celui qui les a engendrés.

Albert Einstein[1]

Avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach, un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques est la conjecture de Syracuse, due à Lothar Collatz au début du XXe siècle.

Soit n un nombre entier. On lui applique l'opération suivante : s'il est pair, on le divise par deux, s'il est impair on le multiplie par trois et on lui ajoute un. On réitère successivement ce traitement sur le résultat, générant ainsi la n-ième suite de Syracuse. La 7-ième suite de Syracuse est ainsi 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

La conjecture de Syracuse fait état que chaque suite de Syracuse aboutira tôt ou tard au cycle 4, 2, 1. Mais elle a résisté jusqu'à présent à toute démonstration. Le mathématicien hongrois Paul Erdős a dit à propos de cette hypothèse : « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».

Une autre famille de suites dont les termes peuvent monter très haut avant de redescendre a été inventée par le mathématicien britannique Reuven Goodstein en 1944.

Tout entier n possède une unique décomposition en base b : \(n = \Sigma k_i · b^i\), où \(b\) est la base et les \(k_i\) sont les chiffres ; ainsi en base 2 : \(266 = 2^8 + 2^3 + 2^1\). La n-ième suite faible de Goodstein est définie de la façon suivante : à partir de la représentation binaire de n, qui constitue le premier terme, le second terme est obtenu en incrémentant la base de 1 et en retranchant 1 au résultat. Les termes suivants sont construits de façon analogue, en réécrivant au besoin le terme dans la base en cours (cf \(n_4\) ci-dessous) qui est par la suite incrémentée avant de soustraire 1 du résultat s'il est non nul. Les premiers termes de la 266-ième suite faible de Goodstein sont donc :

\(n_0 = 2^8 + 2^3 + 2^1 = 266\)
\(n_1 = 3^8 + 3^3 + 2 = 6 590\)
\(n_2 = 4^8 + 4^3 + 1 = 65 601\)
\(n_3 = 5^8 + 5^3 = 390 750\)
\(n_4 = 6^8 + 6^3 − 1 = 6^8 + 5 · 6^2 + 5 · 6^1 + 5 = 1 679 831\)
\(n_5 = 7^8 + 5 · 7^2 + 5 · 7^1 + 4 = 5 765 085\)

Bien que les premiers termes croissent rapidement, cette suite est à support fini, c'est-à-dire qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes deviennent nuls, et c'est en fait le cas pour toutes les suites faibles de Goodstein. C'est le fait de retrancher 1 à chaque étape qui finit par l'emporter sur l'incrémentation de la base.

Contrairement à la conjecture de Collatz, la convergence des suites faibles de Goodstein est simple à démontrer. Intuitivement, à chaque terme d'une suite peut être associé un polynôme de \(\mathbb{N}[X]\) dont les coefficients sont les chiffres de la représentation du terme. Ainsi pour la 266-ème suite de Goodstein, la suite de polynômes est :

\(P_0 = X^8 + X^3 + X^1\)
\(P_1 = X^8 + X^3 + 2\)
\(P_2 = X^8 + X^3 + 1\)
\(P_3 = X^8 + X^3\)
\(P_4 = X^8 + 5 · X^2 + 5 · X^1 + 5\)
\(P_5 = X^8 + 5 · X^2 + 5 · X^1 + 4\)

Cette correspondance, où pour chaque terme la base d'écriture est remplacée par une indéterminée, met en lumière une suite de polynômes qui décroît au sens lexicographique dans \(\mathbb{N}_8[X]\), un ensemble bien ordonné, donc converge, la seule limite possible respectant ce processus étant le polynôme nul.

La représentation complète d'un nombre n en base b est un peu plus complexe : comme précédemment, n est écrit comme somme de puissances de b, mais la même opération est effectuée avec les exposants, avec les exposants des exposants, et ainsi de suite jusqu'à obtenir une écriture stable.

Ainsi \(266 = 2^8 + 2^3 + 2^1 = 2^{2^{2+1}} + 2^{2+1} + 2^1\).

On peut à présent définir les suites de Goodstein.

Soit n un entier naturel. La n-ième suite de Goodstein est construite de la façon suivante :

\(n_0\) est la représentation complète de \(n\) en base 2
\(n_1\) est obtenu à partir de \(n_0\) en remplaçant tous les 2 par des 3, et en retranchant 1
\(n_2\) est obtenu à partir de \(n_1\) en remplaçant tous les 3 par des 4, et en retranchant 1

Soit, pour n = 266 :
\(n_0 = 2^{2^{2+1}} + 2^{2+1} + 2^1 = 266 \)
\(n_1 = 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3^1 − 1 = 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 2 = 443 426 488 243 037 769 948 249 630 619 149 892 886 \approx 10^{38} \)
\(n_2 = 4^{4^{4+1}} + 4^{4+1} + 1 \approx 10^{616}\)
\(n_3 = 5^{5^{5+1}} + 5^{5+1} \approx 10^{10921}\)
\(n_4 = 6^{6^{6+1}} + 6^{6+1} − 1 = 6^{6^{6+1}} + 5 · 6^6 + 5 · 6^5 + 5 · 6^4 + 5 · 6^3 + 5 · 6^2 + 5 · 6^1 + 5 \approx 10^{217 832}\)
\(n_5 = 7^{7^{7+1}} + 7^{7+1} − 1 = 7^{7^{7+1}} + 5 · 7^7 + 5 · 7^5 + 5 · 7^4 + 5 · 7^3 + 5 · 7^2 + 5 · 7^1 + 4 \approx 10^{4 871 822}\)

Théorème (Goodstein) : les suites de Goodstein sont à support fini.

De même que les suites faibles de Goodstein, les suites de Goodstein finissent par s'annuler. Mais le processus est long : la 4-ième suite de Goodstein s'annule après la \(3·2^{402 653 211}-3\)-ème étape (un nombre à plus de 121 millions de chiffres).

L'idée de démonstration est similaire à celle des suites faibles, mais au lieu de polynômes, une correspondance pourra être établie avec une suite d'ordinaux, la base étant substituée par \(\omega\) (le premier ordinal limite).

Pour n = 266 :
\(\beta_0 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + \omega^1 \)
\(\beta_1 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + 2 \)
\(\beta_2 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} + 1 \)
\(\beta_3 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + \omega^{\omega+1} \)
\(\beta_4 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + 5 · \omega^\omega + 5 · \omega^5 + 5 · \omega^4 + 5 · \omega^3 + 5 · \omega^2 + 5 · \omega^1 + 5 \)
\(\beta_5 = \omega^{\omega^{\omega+1}} + 5 · \omega^\omega + 5 · \omega^5 + 5 · \omega^4 + 5 · \omega^3 + 5 · \omega^2 + 5 · \omega^1 + 4 \)

Cette suite d'ordinaux est strictement décroissante et donc converge vers le seul élément possible : l'ordinal nul, et il en est de même pour les suites de Goodstein.

À la différence de la convergence des suites faibles de Goodstein, le théorème de Goodstein ne peut être prouvé dans le cadre de l'arithmétique du premier ordre (ou arithmétique de Peano) ; cela a été démontré en 1982 par Kirby et Paris. Toute preuve nécessite de sortir du cadre de l'arithmétique, comme le fait celle basée sur les ordinaux (il apparait ainsi que les ordinaux, grâce à leur bon ordre structurel, peuvent servir à établir la terminaison d'un processus). Le théorème de Goodstein est donc un exemple de proposition de l'arithmétique de Peano vraie mais improuvable en son sein, et constitue une illustration d'énoncé arithmétique indécidable tel que prédit par le premier théorème d'incomplétude de Gödel.

Sources et références (en anglais) :

Reuven L. Goodstein, On the restricted ordinal theorem (1944) - article séminal

Laurie Kirby, Jeff Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic (1982) - démonstration de la non-prouvabilité du théorème de Goodstein au sein de l'arithmétique de Peano et introduction du jeu de l'hydre

Bernard G. Hodgson, Herculean or Sisyphean tasks? - article de vulgarisation soulignant que l'annulation des suites de Goodstein est une tâche herculéenne et non sisyphéenne

Michèle Artigue, Ferdinando Arzarello, Susanna Epp, Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity - article de vulgarisation

Note

[1] The significant problems we face cannot be solved at the same level of thinking we were at when we created them. Il est difficile de remonter à la source exacte de cette phrase -ou des variantes-, souvent attribuée à Einstein.

lundi 16 mars 2015

Semaine du cerveau 2015 - Le geste dans la tête

Organisée chaque année, la Semaine du cerveau a pour but desensibiliser l’opinion à la recherche sur le cerveau. Coordonnée par l’Alliance européenne pour le cerveau et la Dana Alliance for Brain Initiatives aux Etats-Unis, elle constitue aujourd’hui un événement d’envergure internationale.

Programme à Genève de la semaine du cerveau 2015 (liens : 2008, 2009, 2014) organisée par la Ligue Suisse pour le Cerveau (Schweizerische Hirnliga) du lundi 16 au vendredi 20 mars, sur le thème Le geste dans la tête :

Le rythme est présent partout dans notre corps grâce à des horloges biologiques internes. La cadence que bat les neurones impacte notre comportement et nos émotions.

Intervenants:
Didier Grandjean (Université de Genève)
Ulrich Schibler (Université de Genève)
Mehdi Tafti (Université de Lausanne)

Comment le cerveau contrôle-t-il le mouvement et comment celui-ci diffère-t-il entre les novices et les experts ? Dans quelle mesure la pratique mentale peut-elle améliorer la performance motrice ?

Intervenants:
Ursula Debarnot (Université de Genève)
Daniel Huber (Université de Genève)
Alexandre Pouget (Université de Genève)

La maladie de Parkinson, les tics, la main qui bouge toute seule ; toutes ces pathologies nous offrent un éclairage sur les mécanismes cérébraux du mouvement.

Intervenants:
Frédéric Assal (Hôpitaux Universitaires de Genève)
Luc Mallet (Hôpitaux Universitaires de Genève, Université Paris-Est Créteil)
Pierre Pollak (Hôpitaux Universitaires de Genève)

La compréhension des mécanismes de la conscience du mouvement a ouvert des nouvelles voies thérapeutiques, que ce soit du côté des douleurs fantômes ou de la transplantation des membres amputés.

Intervenant:
Angela Sirigu (Institut des Sciences Cognitives Marc Jeannerod, CNRS, Lyon)

Favorisant un lien entre mouvement et musique, la rythmique semble promouvoir le développement des capacités à se situer dans l'espace et prévenir le déclin de la mobilité chez les personnes âgées.

Intervenants:
Silvia Del Bianco (Institut Jacques-Dalcroze)
Didier Grandjean (Université de Genève)
Andrea Trombetti (Hôpitaux Universitaires de Genève)



Bonne semaine du cerveau à tous.

mercredi 4 février 2015

Pi est irrationnel

Dans la Bible (Rois I,7,23), il est marqué, parlant d'une grande bassine en fonte construite par Hiram de Tyr pour le roi Salomon (traduction du rabbinat français sous la direction du grand rabbin Zadoc Kahn) : Parfaitement circulaire, elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, et cinq coudées de hauteur ; une ligne de trente coudées en mesurait le tour. Comme évoqué dans l'article l'âge du monde : science vs torah, on voit là que pour l'auteur de ce passage du récit biblique, \(\pi =3\).

Bon, en admettant que ce soit un arrondi, si l'auteur avait eu une connaissance un peu plus précise de \(\pi\), il aurait mesuré la circonférence à trente-et-une coudées, et non trente. À moins bien sûr que ce soit le diamètre qui soit arrondi de 30/\(\pi\) coudées à 10. En tout état de cause, ces estimations ne sont pas très précises pour un texte divin.

Selon Rav M. Bitton, la connaissance sur la précision de \(\pi\) est en réalité subtilement dissimulée dans le texte, puisque dans le verset le mot קו (numériquement : 106) est écrit suivant une variante orthographique קוה (numériquement : 111), et 111 / 106 * 3 = 3.1415094..., soit \(\pi\) à la quatrième décimale près.

M. Bitton souligne ensuite que \(\pi\) est extrêmement problématique et fantasmatique car on n'a pas encore réussi à l'exprimer comme rapport de deux entiers. Pas encore.

Et en fait, pour faire gagner du temps à M. Bitton, on n'y arrivera jamais. Car :

\(\pi \notin \mathbb{Q}\)

ce qui signifie que \(\pi\) ne peut pas être exprimé comme fraction de deux nombres entiers. En mathématiques, on nomme cette propriété d'un nombre irrationnalité.

D'après Rav Wikipédia, Al-Khawarizmi, au IXe siècle, est persuadé que \(\pi\) est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XIIe siècle.

La preuve en fut finalement apportée en 1767 par le mathématicien Johann Heinrich Lambert dans son article « Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques », dont la première phrase est : Démontrer que le diamètre du cercle n'est point à la circonférence comme un nombre entier à un nombre entier, c'est là une chose dont les géomètres ne seront guère surpris.

En voici une démonstration moderne et élégante, due à Ivan Niven en 1946.

Supposons que \(\pi\) puisse s'écrire comme rapport de deux nombres entiers : \(\pi=a/b, (a,b) \in \mathbb{N}^2\).

Pour tout entier naturel \(n\) on définit les polynômes :

\(P_n(X)=\frac{X^n(a-bX)^n}{n!}\)

et

\(F_n(X)= P_n(X) - P_n^{(2)}(X) + P_n^{(4)}(X) - ... + (-1)^n P_{n}^{(2n)}(X) \)

où \(^{(k)}\) dénote la dérivée k-ième d'une fonction.

Clairement \(n! P_n(x)\) est une fonction polynômiale à coefficients entiers et non nuls pour les termes de degrés compris entre \(n\) et \(2n\). Donc ses dérivées successives \(P_n^{(k)}(x)\) ont des valeurs entières en \(x=0\), ainsi qu'en \(x=\pi=a/b\), puisque \(P_n(x) = P_n(a/b-x)\).

Un calcul simple montre que :

\(\begin{equation}\frac{d}{dx} [ F'_n(x) \sin x - F_n(x) \cos x ] = F''_n(x) \sin x +F_n(x) \sin x = P_n(x) \sin x \end{equation}\)

et donc que :

\( \begin{equation}\label{1} \mathrm{(1)} \int_0^\pi P_n(x) \sin x = [ F'_n(x) \sin x - F_n(x) \cos x ]_0^\pi = F_n(\pi) +F_n(0) \end{equation}\).

Or comme \(P_n^{(k)}(\pi)\) et \(P_n^{(k)}(0)\) sont entiers, \(F_n(\pi) +F_n(0) \) doit l'être aussi. Mais en vertu de la définition de \( P_n(X) \), pour \( 0 \lt x \lt \pi \) :

\( \begin{equation} 0\lt P_n(x) \sin x \lt \frac{\pi^n a^n}{n!}\end{equation} \)

donc l'intégrale dans (1) est positive mais arbitrairement petite pour n assez grand. Conséquemment l'équation (1) est fausse, de même dès lors que l'hypothèse de départ de la rationnalité de \(\pi\). QED.

En conclusion, la torah a été sage de ne pas chercher trop loin un quotient de deux entiers pour indiquer le rapport exact entre la circonférence du bassin et son diamètre !

vendredi 2 janvier 2015

Luxons

Un luxon est une particule se déplaçant, lorsqu'elle est dans le vide, à c, vitesse de la lumière dans le vide.

Pourquoi un luxon a-t-il une masse nulle ?

Réciproquement, pourquoi une particule de masse nulle se déplace-t-elle nécessairement à la vitesse de la lumière dans le vide ?

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vendredi 14 novembre 2014

A. G. 1928 - 2014

RIP Alexander Grothendieck.

lundi 10 mars 2014

Semaine du cerveau 2014 - Peur amie, peur ennemie

Cette semaine a lieu la semaine du cerveau 2014, avec pour thème : la peur.

Au programme à Genève :

Lundi : Les dessous de la peur - Comment la peur se déclenche-t-elle et comment la mesure-t-on? Quels sont les circuits cérébraux qui la contrôlent et l'entretiennent?
Intervenants : Alexandre Dayer (Université de Genève), David Sander (Université de Genève), Patrik Vuilleumier (Université de Genève)

Mardi : Le stress sous la loupe (Table ronde) - Le stress nous accompagne tous à différents degrés et agit sur notre mémoire et notre état physique et mental.
Intervenants : Jean-Michel Aubry (Hôpitaux Universitaires de Genève), Ulrike Rimmele (Université de Genève)
Modérateur : Pierre-Yves Frei

Mercredi : La peur plaisir - Impulsivité et recherche de sensations fortes caractérisent souvent la période de l’adolescence. Quels sont les facteurs biologiques et environnementaux qui sous-tendent ces comportements?
Intervenants : Martin Debbané (UNIGE), Nader Perroud (HUG)

Jeudi : Les phobies : mieux les connaître, mieux les combattre - La simple phobie ou la phobie sociale peuvent constituer un véritable handicap de vie. Si les causes sont encore peu élucidées, la compréhension des mécanismes et les thérapies ont fait des progrès notables.
Intervenant : Antoine Pelissolo (Hôpital Henri-Mondor et Université Paris Est Créteil)

Vendredi : Les troubles anxieux: diagnostics et traitements (Table ronde) - Qu'est-ce qui caractérise les troubles anxieux et quels liens tissent-ils avec la dépression? Comment la psychothérapie et la pharmacologie s'unissent-elles pour une meilleure efficacité thérapeutique?
Intervenants : Guido Bondolfi (Hôpitaux Universitaires de Genève), Lucio Bizzini (Ass. Suisse de Psychothérapie Cognitive), Christian Bryois (Centre Hospitalier Universitaire Vaudois)
Modérateur : Pierre-Yves Frei

Un programme qui fait peur.

vendredi 31 janvier 2014

L'âge du monde, le retour

Après Ron Chaya, Gary Cohen, un rabbin et chercheur en mathématiques appliquées à l'Inria, s'intéresse aussi au thème de l'âge du monde et des contradictions entre ce que suppose la science (l'univers est âgé de 13,8 milliards d'années) et ce que permet de déduire la torah (l'univers a moins de 6000 ans). Contrairement à Ron Chaya, M. Cohen est un scientifique.

Lien vers la conférence

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lundi 16 septembre 2013

Open Knowledge conference

The open knowledge conference 2013 (OKcon) holds from Monday to Wednesday in Geneva.

A lot of openness in the covered topics:

vendredi 26 juillet 2013

Le cercle d'Osterlind

Certaines prédictions et performances magiques sont réalisées avec des cartes Zener[1].

Cartes Zener (ou ESP)

Un jeu de cartes Zener est composé de cinq fois cinq cartes représentant un motif pouvant être associé à un chiffre entre 1 et 5 : le cercle (une boucle), une croix (deux segments perpendiculaires), une vague (troits traits ondulés), un carré (quatre côtés), et une étoile (5 branches).

Certains magiciens se sont demandés s'il existait un ordre intéressant pour présenter un paquet de cartes Zener.

Et il y en a au moins un : en enlevant une carte étoile, on a 24 cartes qui peuvent être rangées de façon à ce que 2 cartes consécutives indiquent de façon déterministe l'identité de la suivante, de manière cyclique (invariante par coupe)[2].

\(1~1~4~5~3~1~3~3~2~5~4~3~4~4~1~5~2~4~2~2~3~5~1~2\)

Evidemment n'importe quelle permutation des symboles conserve la propriété mais celle-ci présente l'avantage que la formule donnant le chiffre à apparaître en fonction des deux précédents est très simple, il suffit de doubler modulo cinq leur somme :

\(U_n = 2 * (U_{n-2} + U_{n-1})~mod~5\)

où dans la suite, le symbole \(5\) dénote le zéro.

En ipython, le chiffre à venir est ainsi donné par :

(_+__) * 2 % 5

Autrement dit, il s'agit de la suite de Fibonacci doublée dans \(\bf{Z}_5\).

Sur les 25 éléments de \(\bf{Z}_5 \times \bf{Z}_5\), le seul couple absent de la suite est \( (5,5) \), neutre. Les quatre autres \( (n,n) \) sont équirépartis.

Cette suite à valeurs dans un corps fini semble avoir été découverte par le magicien Richard Osterlind qui cherchait à fabriquer un stack Zener d'aspect aléatoire, dans son livre The Very Modern Mindreader. Par son caractère cyclique il est tentant de lui attribuer le nom de "cercle d'Osterlind".

Le cercle d'Osterlind

Pour ne pas trop dévoiler de magie, qui est une discipline ornée de ses mystères, les tours pouvant être créés à partir de ce cercle sont laissés à l'imagination des visiteurs.

Notes

[1] Ces cartes, inventées par Joseph Rhine, également appelées cartes ESP, pour exstrasensory perception (perception extrasensorielle, i.e paranormale). Évidemment les adeptes du New Age en sont férus.

[2] Note : Le CDN de MathJax a changé, pour cette raison la connexion externe à cloudfront.net annoncée dans l'article sur les bénéfices de sortir couvert est à ce jour remplacée par une connexion externe SSL à rackcdn.com .

vendredi 19 juillet 2013

Sauver sa clef USB

Votre clef USB contenant vos meilleures photos, vos mots de passe, et vos bitcoins est morte ? La clef ne fonctionne plus ou n'est plus reconnue ? Il est peut-être possible de ressusciter son contenu.

Ainsi, si c'est le connecteur qui est déterioré ou défaillant, il est possible de le court-circuiter. En effet il suffit de connecter correctement certains contacts de la carte électronique de la clef USB à un câble USB standard.

Matériel nécessaire :

  • la clef USB à réparer (et éventuellement une autre identique pour s'entraîner)
  • un câble USB
  • un fer à souder et de l'étain
  • une pince coupante et une pince à dénuder
  • un testeur de continuité / multimètre
  • un outil type couteau Suisse

Procédure :

Préparer le cable USB

Sectionner le câble USB en deux et garder la partie contenant le connecteur pouvant se brancher sur le port USB d'un ordinateur.

Le connecteur comporte 4 contacts, qui sont reliés à 4 fils intégrés dans le câble, respectivement, de droite à gauche :

  1. rouge (+VCC, tension d'alimentation)
  2. blanc (transmission DATA -)
  3. vert (transmission DATA +)
  4. noir (masse)

Voir Central Treasure pour le diagramme de câblage. Ceux qui veulent les passionnants détails des spécifications USB 2.0 peuvent les consulter ici.

Enlever la gaine sur quelques centimètres, et dénuder les extrémités des 4 fils (rouge, blanc, vert, noir).

Récupérer la carte électronique

Ouvrir la clef USB et démonter la carte électronique (PCB) contenant la mémoire (circuit intégré).

Comprendre la disposition des contacts électroniques sur le PCB

À l'aide du testeur de continuité, repérer quels contacts de la carte sont reliés à quelles parties du connecteur.

Connecter le câble USB à la carte

Avec le fer, souder les fils directement sur la carte. Utiliser le testeur de continuité pour vérifier que les dents du connecteur du câble sont bien reliées aux bons contacts du PCB et qu'il n'y a pas de court-circuit.

Brancher le câble sur un port USB

Si tout se passe bien, le contenu de la mémoire devrait être accessible via le câble USB. Il ne reste plus qu'à transférer les données sur un nouveau support.

Voilà.

lundi 18 mars 2013

Robots (I)

Les musée des arts et métiers organisait cet hiver une exposition sur les robots.

Certaines considérations morales autour des robots et de leurs prérogatives avaient été envisagées il y a bien longtemps par les auteurs de science-fiction, comme l'illustrent les trois lois de la robotique d'Isaac Asimov :

  1. Un robot ne peut porter atteinte à un être humain, ni, restant passif, permettre qu'un être humain soit exposé au danger.
  2. Un robot doit obéir aux ordres que lui donne un être humain, sauf si de tels ordres entrent en conflit avec la Première loi.
  3. Un robot doit protéger son existence tant que cette protection n'entre pas en conflit avec la Première ou la Deuxième loi.

Avec la présence de Nao (présenté dans l'article sur la neutralité du net) et autres consorts, l'histoire des robots se déclinait selon :

  1. Introduction (à la veille d'une révolution ?)
  2. Robot, qui es-tu ?
  3. Robot, d'où viens-tu ? (différence entre robots et automates)
    1. Introduction
    2. De l’Égypte des pharaons aux ingénieurs mécaniciens grecs
    3. La popularisation des automates et la naissance de l’horlogerie
    4. Lorsque l’androïde paraît...
    5. XIXe et XXe siècle : la consécration avant le déclin
    6. Des automates pour tous
  4. Nom de code Robota
    1. La cybernétique, projet de l’après-guerre (oeuvre et leg de Norbert Wiener)
    2. Les robots dans l’industrie (tâches répétitives, pénibles, et dangereuses confiées aux machines, taylorisme, collaboration homme-robot)
    3. Robots et nucléaire : servir et protéger en milieu extrême (remplacer l'homme en milieu hostile en cas de catastrophe nucléaire)
    4. Les robots des abysses (robots téléopérés et sous-marins autonomes dans la pression et l'opacité des milieux sous-marins)
    5. Les robots au coeur de la conquête spatiale (Lunokhod 1, Spirit, Opportunity, Curiosity)
    6. Robots et défense : préserver des vies et des territoires ? (zones de conflit : robots biomimétiques, robots-soldats, robots multifonctions autonomes (ex : drones))
  5. Robots Domesticus
    1. Usables et corvéables (surveillance, nettoyage)
    2. Des robots au foyer (domotique)
  6. Le robot est-il l'avenir de l'homme ? (robots-chirurgiens, prothèses bioniques, exosquelettes, greffes et implants mécatroniques)
  7. Robots entre science et fiction (androïdes, imitations mécaniques d’un homme parfait)

Comme l'art aléatoire, les robots soulèvent de nombreuses questions d'éthique, depuis le golem du maharal de Prague : intelligence artificielle, conscience robotique, droit des robots, etc.

lundi 11 mars 2013

Semaine du cerveau 2009 - Les neurosciences de demain

Le centre interfacultaire de neuroscience de l'Université de Genève organise à partir d'aujourd'hui a lieu la semaine du cerveau 2013 sur le thème "Les neurones dans le plat", avec plusieurs conférences : Faute de goût, Sommes-nous tous nez égaux, De la gourmandis à l'addiction, Le cerveau au cœur de l'obésité, Inévitables apprentissages: empreintes olfactives du début de vie sous le haut patronage du secrétaire d’Etat à l'éducation et à la recherche et sous les auspices de la Société suisse de neurosciences et de la European Dana Alliance for the brain.

En 2008, le thème était Cerveau et réalités.

Il y a quatre ans, la semaine du cerveau 2009 avait pour thème Les neurosciences de demain. Résumé :

Semaine du cerveau 2009

Les défis des neurosciences sont à l'honneur de la douzième édition de la Semaine du cerveau. Organisée par le Centre de neurosciences de l'Université de Genève (UNIGE), cette édition permettra d'apporter un éclairage nouveau sur les enjeux des neurosciences et les défis auxquels elles font face. Du 16 au 21 mars prochain, tables rondes, conférences, ateliers et démonstrations seront autant d'occasions d'aborder des thèmes comme le décodage de la pensée, le dopage de nos performances cognitives ou les thérapies du futur. Cette année, la semaine du cerveau s'inscrit dans le cadre du 450e anniversaire de l'UNIGE. Pour célébrer cet événement, la semaine se terminera par une grande foire du cerveau durant laquelle de nombreuses démonstrations, ateliers et conférences seront proposés à un public de tous les âges.

L'accélération de la recherche en neurosciences au cours de cette dernière décennie a permis de mettre en évidence les mécanismes cérébraux qui sous-tendent la mémoire, la pensée, les émotions ou le comportement. Il existe maintenant diverses possibilités d’intervention sur le système nerveux, que ce soit avec des molécules chimiques ou des méthodes plus ou moins invasives telles que l’imagerie cérébrale, les implants ou les neuroprothèses. Les neurosciences modernes répondent à une exigence de progrès motivé par de réels besoins thérapeutiques, mais aussi par un désir de performance, de maîtrise de son corps ou de ses émotions et de celles d’autrui.

Sera-t-il bientôt possible de manipuler les cerveaux et les comportements par des drogues, par des implants cérébraux ou des greffes de cellules? Risque-t-on de modifier l’humain ou de promouvoir le «surhumain»? Comment ces avancées vont-elles modifier notre société? Cette nouvelle édition de la Semaine du cerveau traitera des recherches qui suscitent espoirs de guérison et aussi craintes de manipulation et de mise à mal du libre-arbitre.

L’ère du Surhomme : comment doper le cerveau ? - La médecine nous permet actuellement d'effacer les imperfections de notre corps. En sera-t-il bientôt de même pour notre cerveau? Qui n'a pas rêvé d'avoir une mémoire sans faille, d'augmenter sa capacité de concentration ou d'être moins sujet à la fatigue? La science nous permettra-t-elle de dépasser nos limites cognitives? Ces questions seront le point de départ de la table ronde du lundi 16 mars. Le prof. Dominique Müller nous expliquera les bénéfices et les inconvénients des nouvelles substances visant à renforcer les mécanismes de la mémoire, tandis que le prof. Medhi Tafti s'exprimera sur le développement de stimulants qui permettent de prolonger l'état de veille. L'efficacité et la pertinence des interventions psychologiques visant à améliorer nos capacités cognitives, ainsi que les différentes questions éthiques soulevées, seront discutées par le prof. Martial Van Der Linden.

Homo sapiens : être et ne pas être un singe - Des milliers et des milliers d'années d'évolution ont façonné notre corps et notre cerveau. Nous en avons gardé une très forte ressemblance physiologique avec les grands singes ; pourrait-il en être différemment de nos cerveaux? Que partageons-nous avec nos plus proches cousins et qu'est-ce qui nous en distingue? A l'occasion du bicentenaire de la naissance de Darwin, Alain Prochiantz, neurobiologiste et écrivain, s'interrogera, le mardi 17 mars, sur l'émergence de l'homo sapiens et sur la frontière qui le sépare du reste du monde vivant. Cette frontière anatomique, mais aussi culturelle, nous fournit de nombreux privilèges: le privilège de ne plus être entièrement soumis aux lois de la sélection naturelle grâce à la science et aux prouesses technologiques que notre cerveau a développées ; le privilège de comprendre qui l'on est et d'où l'on vient ; le privilège - mais est-ce vraiment un privilège? - d'être acteur de notre destinée, une destinée à la fois technique et tragique.

Lire dans les pensées[1] - Lire dans les pensées: un concept à la fois fascinant et effrayant. Cela pourrait pourtant bientôt faire partie du possible. L’intériorité mentale, considérée comme le dernier refuge de la liberté de pensée, inviolable même dans le pire des régimes totalitaires, est-elle en train de livrer sa dernière bataille? À l'occasion de la table ronde du mercredi 18, des chercheurs viendront discuter des perspectives et des limitations techniques et éthiques de cette voie. Le neurologue Patrik Vuilleumier expliquera comment les nouvelles techniques d’imagerie cérébrale permettent d'associer les activités neuronales à diverses fonctions mentales et comment leur mesure pourrait jouer un rôle dans le décodage de la pensée. La télépathie quitte le monde du paranormal pour s'installer dans les laboratoires sous le nom d'interface cerveau-ordinateur. Des électrodes placées à la surface du crâne permettent en effet d'interagir avec des engins mécaniques ou des ordinateurs. Sara Gonzalez, physicienne au HUG, montrera comment cette recherche offre un véritable espoir aux personnes paralysées en leur permettant de contrôler leur chaise roulante par la pensée. Progrès thérapeutique et scientifique, le décodage de la pensée suscite l'interrogation de l'éthicien Alex Mauron, quant à son impact sur notre société. Une telle percée est-elle conciliable avec notre idéal de liberté et de protection de la vie privée?

Décider : entre raison et émotion - Les théories économiques ont longtemps supposé que l'homme était un décideur rationnel, les émotions étant perçues comme des événements irrationnels qui altèrent le jugement et obscurcissent le raisonnement. L'imagerie cérébrale permet aujourd'hui d'identifier le rôle des différentes parties du cerveau dans la prise de décision, montrant que les émotions en font partie intégrante. Les déficits d'émotion suite à un accident cérébral entraînent souvent chez le patient de la difficulté à prendre des décisions. Dans la conférence du jeudi 19, le neurobiologiste Alain Berthoz, professeur au Collège de France, expliquera comment les émotions interviennent dans les choix que nous faisons et évoquera les nouveaux champs d'application de ces études tels que la neuroéconomie.

Les nouvelles technologies thérapeutiques - La soirée de vendredi sera dédiée aux thérapies du futur. Les progrès des nouvelles technologies laissent entrevoir de nouveaux espoirs de guérison. Toutes les pathologies graves du cerveau, telles que la maladie d’Alzheimer ou l'accident vasculaire cérébral, impliquent la perte progressive ou brutale de neurones. Le neurobiologiste Jozsef Kiss s'exprimera sur les espoirs de la thérapie cellulaire, une thérapie qui permettra peut-être un jour le réapprovisionnement du cerveau en neurones au moyen de cellules souches. Redonner la vue aux aveugles n'est plus aujourd'hui du domaine du miracle. Le chirurgien et ophtalmologue Jöel Salzmann se penchera sur les nouvelles technologies redonnant espoir à certains aveugles. Enfin, le chirurgien Claudio Pollo interviendra au sujet de la stimulation cérébrale, méthode qui consiste à délivrer, au moyen d’une électrode, du courant électrique dans un endroit choisi du cerveau. Ce traitement chirurgical a pour objectif de rétablir, au niveau de circuits de neurones, un fonctionnement altéré par la maladie.

Notes

[1] Question à 81:27.

jeudi 29 novembre 2012

Begetting Maxwell's demon

The best way to protect the future is to invent it.

Alan Kay

The rules of the Colloque Wright pour la Science, held every two years, are the following. During five evenings, worldfamous scientists present lectures of about 50 minutes followed by a round table discussion of the evening’s subject featuring all five of the week’s lecturers. Questions from the audience are discussed by the speakers and simultaneous translation from English to French and vice versa are provided throughout the program. The conferences are free of charge and open to everyone.

The previous editions were about:

This year's theme was Molecular architecture (Architecture moléculaire). We know that the matter that makes up the world we live in is made of atoms, but this simple statement is of limited use – it is like describing architecture by saying that buildings are made of stones. We would like to know how the atoms are arranged and put together, and how this can explain the astonishing variety of substances which we encounter and use in everyday life, including inside our own bodies.

In a presentation entitled The magic of molecular machines, David Leigh used entertaining magic tricks to explain how scientists use nature's nanotechnology to do creative synthetic chemistry. By developing controlled translational motion (catenane) and controlled rotational motion (rotaxane), researchers are able to manufacture molecular switches, building blocks for a molecular information ratchet (paper) that employs a mechanism reminiscent of Maxwell's demon. It is however powered by an external source (light) hence does not challenge the second law of thermodynamics.

Illustration by Peter Macdonald – Edmonds UK. From catenane.net .

Maxwell's demon is a fundamental Gedankenexperiment in science, where a demon uses information to split lukewarm water into hot and cold water. After a seminal letter from James Clark Maxwell to Peter Tait (1867), subsequent analysis by several generations of scientists revealed a fundamental link between entropy and information, significantly influencing the development of statistical and quantum physics and chemistry, information theory and computer science.

Leigh's final consideration: Chemistry is a bit like love, there is a special one for every one of us. But sometimes, anything will do.

Maxwell's equations have had a greater impact on human history than any ten presidents.

Carl Sagan

lundi 24 septembre 2012

L'âge du monde : science vs torah

Dans une série de quatre présentations, intitulée « L'âge du monde », le Rav Ron Chaya s'attèle à une tâche à la fois délicate et ambitieuse : comment concilier l'âge du monde estimé par la science (14 milliards d'années) avec celui indiqué par la torah (6000 ans) ? Cela semble a priori tout à fait contradictoire, mais un adage ne dit-il pas qu'« un peu de science éloigne de Dieu, beaucoup de science y ramène » ?

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vendredi 21 septembre 2012

La science de l'autisme

Fernand Deligny, auteur du célèbre recueil « Graine de crapule » (1945), était un éducateur qui fut dans les années 70 à l'origine de la création d’un réseau de prise en charge d’enfants autistes. Je dis tout simplement qu'un radeau n'est pas une barricade et qu'il faut de tout pour qu'un monde se refasse., affirmait-il.

L'autisme se manifeste par des comportements simultanés et cumulatifs qui peuvent déstabiliser ceux qui ne sont pas familiers avec cette condition, qualifiée de trouble envahissant du comportement (TED) :

  • des troubles des interactions sociales
  • des troubles de la communication verbale et non-verbale
  • des comportements stéréotypés et répétitifs

On distingue grossièrement trois types d'autisme (avec divers degrés, on parle de spectre autistique) :

  • L'autisme infantile, appelé aussi autisme de la petite enfance (aussi traduit autisme infantile précoce), psychose de la petite enfance, syndrome de Kanner ou trouble autistique. L'appellation autisme sans précision supplémentaire renvoie le plus souvent à cette identification, mais souvent en l'élargissant plus ou moins (comme on l'observe dans les critères utilisés dans les études épidémiologiques censées dénombrer les autistes).
  • Le syndrome d'Asperger, d'abord appelé psychopathie autistique (en 1943), est considéré comme une forme d'autisme. Il est inclus dans les décomptes épidémiologiques de l'autisme, mais les critères diagnostiqués sont très différents de ceux de l'autisme infantile. Il y a très peu de différences entre l'autisme dit de haut niveau et le syndrome d'Asperger. La distinction reposerait sur l'âge où l'enfant commence à parler, les patients ayant le syndrome d'Asperger ne connaissant pas de retard dans ce domaine. Certains ont aussi avancé l'existence de différences dans la comparaison des QI verbal et performance.
  • L'autisme atypique est un critère qui distingue un caractère autistique autre que l'autisme infantile ou le syndrome d'Asperger. Contrairement au diagnostic de trouble envahissant du développement non spécifié, le caractère autistique est clairement indiqué (il pointe l’existence des trois critères de référence de l'autisme, sociaux, communicationnel et de centre d’intérêt).

Les New-Agers parlent d'enfants indigo pour désigner les enfants autistes, dylexiques, ou hyperactifs. C'est-à-dire, des humains surdoués mais inadaptés au côté normatif des systèmes éducatifs traditionnels, et auxquels un environnement spécialisé est plus adéquat. Alors certes, c'est très bien de dire que ces enfants recèlent beaucoup de potentiel et qu'avec beaucoup d'efforts ils réaliseront des tas de choses dans la vie. Après amalgamer le tout et conférer aux enfants indigo des pouvoirs paranormaux pour faire plaisir aux parents et en faire un business[1], c'est déjà plus discutable.

L'autisme est le trouble du développement qui se répand actuellement le plus vite sur Terre. Le fait que les populations migrantes soient particulièrement touchées met en lumière une influence possible de l'environnement. Maladie rare il y a cinquante ans (un enfant sur dix mille affecté), la proportion d'enfants atteints est aujourd'hui d'environ 1 pour 150 en Europe, 1 pour 90 aux États-Unis, et même 1 pour 40 en Corée du Sud. En résumé, l'autisme revêt de plus en plus les apparences d'une épidémie.

Des associations comme Autistes sans Frontières et Autisme France insistent sur la nécessité d'un dépistage précoce, qui pourrait être effectué dès 2 ans, pour améliorer l'efficacité de la prise en charge. Malgré l'absence de marqueur biologique connu, certains signes avant-coureurs et signes d'alertes, décrits à partir de la page 15 de la brochure susmentionnée, peuvent conduire à demander une observation clinique et des examens psychologiques effectués par des professionnels.

En présentant l'autisme comme une rupture des capacités à la survie, le chercheur Ami Klin argumente aussi qu'une détection précoce des troubles du spectre autistique est importante afin d'éviter que des enfants atteints ne se retrouvent isolés face à leur environnement. Des équipes ont ainsi récemment mis en évidence que chez les très jeunes, le mouvement des yeux face à un écran de télévision présentait souvent des motifs spécifiques chez les enfants autistes ou hyperactifs (étude).

Se pose également la question de la cause de l'autisme, considéré comme une maladie neurobiologique. Certains suggèrent que des vaccins comme le Measles-Mumps-Rubella (MMR) seraient facteur d'autisme, mais cette théorie s'est vite révélée complètement infondée). Par contre, un documentaire d'Arte intitulé L'énigme de l'autisme - La piste bactérienne fait état de recherches scientifiques liant autisme et métabolisme, via des bactéries intestinales[2]. Ces études orientent les recherches vers des tests de détection complètement différents des tests comportementaux, tels les tests d'urine (étude), et envisagent des traitements basés sur des compléments alimentaires probiotiques.

Ce résultat n'est pas isolé. Une autre maladie cérébrale est de plus en plus perçue comme d'origine métabolique : la maladie d'Alzheimer [3], ainsi que l'illustre la couverture du New Scientist de ce mois.

Il n'existe aujourd'hui ni de preuve de l'irréversibilité de l'autisme, ni de traitement curatif. Mais une chose est sûre, c'est qu'il y a un gouffre d'incompréhension entre le monde des autistes et le monde des « gens normaux ». Notre vision et nos perspectives souvent limitées ont tendance à ériger une haute barrière de communication dont le difficile franchissement se rapproche, spirituellement, d'un saut en hauteur.

Notes

[1] Extrait d'une publication du GEMPPI :Habituellement une secte fabrique un objet de culte superstitieux (Omitama, Gohonzon etc.) exclusif auquel l'adepte va attribuer des pouvoirs magiques bénéfiques en cas d'obéissance ou maléfiques en cas de rebellion. Les adeptes de la secte Kryeon n'ont d'autres objets de culte et de superstition que leurs enfants "indigo", qui se trouvent revêtus de super-pouvoirs magiques bénéfiques en cas d'obéissance, maléfiques en cas de rejet, dès lors que les guides patentés de l'église kryeoniste les déclarent Indigo. L'avantage pour ceux qui exploitent ce système est que les adeptes ne pourront jamais se débarrasser de l'objet de culte qui les asservit à un enseignement et à la loi d'une entité invisible dont Lee Carroll et ses apôtres ont le monopole de la médiation.

[2] D'après l'enquête, les métabolites de bactéries intestinales telles que l'acide propionique pourraient déclencher l'autisme chez les enfants prédisposés.

[3] Depuis 2005 (étude), la maladie d'Alzheimer est de plus en plus considérée comme un diabète de type 3, une sorte de « diabète du cerveau », conduisant à envisager des traitements basés sur des médicaments appelés glitazones, ou sur l'insuline. Il est toutefois possible que diabète et maladie d'Alzheimer ne soient pas soient liées directement mais par des causes communes telles que des microsaignements au niveau du cerveau.

mardi 4 septembre 2012

Les problèmes juifs

Alors que le musée d'Israël à Jérusalem présente jusqu'à la fin de l'année une exposition sur le judaïsme haredi, voici cinq petits problèmes mathématiques.

  • 1) Soient un segment du plan et un cercle dont le segment soit un diamètre. Soit un point du plan n'appartenant ni au cercle ni au segment, tracer avec seulement une règle la perpendiculaire au segment passant par le point.
  • 2) Un quadrilatère de l'espace est tangent à une sphère (c'est-à-dire que chacun de ses côtés est tangent à la sphère). Montrer que les points de tangence sont coplanaires.
  • 3) Trouver toutes les fonctions \(F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) telles que pour tous \(x_1\) et \(x_2\) : \(F(x_1) - F(x_2) \leq (x_1 - x_2)^2\).
  • 4) Soit un parallélogramme. En utilisant uniquement une règle, diviser l'un des côtés en six segments de même longueur.
  • 5) Un cercle est inscrit dans une face d'un cube de côté \(a\). Un autre cercle est circonscrit à une face adjacente de ce cube. Quelle est la distance minimale entre les points des cercles ?

Ces problèmes ont été spécialement conçus pour avoir une solution simple à comprendre mais (souvent) très difficile à trouver ; ils font partie d'une liste, les problèmes juifs.

Pourquoi ? Dans les années 70-80, lors des examens oraux d'admission au département de mathématiques (Mekh-mat) de l'Université de Moscou (MSU), ils étaient proposés aux candidats juifs et autres indésirables. Comme les problèmes étaient très difficiles, les candidats échouaient la plupart du temps, mais comme les solutions étaient simples à comprendre, l'administration était protégée contre les éventuelles plaintes ou autres recours. En soumettant des problèmes différents aux candidats « acceptables » et aux « inacceptables », l'Université pratiquait subtilement une discrimination basée sur la technique. La liste de ces problèmes juifs a longtemps été tenue secrète, et sa publication présente une valeur tant mathématique qu'historique. Certains d'entre eux sont élégants, d'autres sont fastidieux, et enfin certains sont présentée d'une façon ambiguë, voire incorrecte. Un échantillon a été publié par les chercheurs Tanya Khovanova et Alexey Radul. Le mathématicien Ilan Vardi a également publié une liste similaire et y évoque « peut-être pour la première fois, une utilisation politique des mathématiques ».

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