Le jeu Dobble est né d'un concept de Denis Blanchot qui semble simple : 55 cartes, 8 symboles différents par carte, et toujours un et un seul symbole commun entre chaque carte. Il faut être le plus rapide à trouver ce symbole commun[1].

Exemple : quel est l'unique symbole commun aux cartes suivantes ?

[ ⚑ ★ ☋ ◐ ☎ ☕ ☣ ☯ ] et [ ☪ ☕ ♞ ♬ ⚓ ⚷ ✈ ➑ ]

Une question naturelle qui se pose est : comment construire un ensemble de cartes muni de cette propriété : pour toute paire de cartes, il existe un un et seul symbole commun ?

En indexant les symboles, par des entiers, la question peut être reformulée de la manière suivante : comment construire une famille \(S_i\) de parties de \([|1,n|]\) telles que \(\forall (i,j): \# S_i = \# S_j\) et \(\# (S_i \cap S_j) =1\) ?

Pour commencer, prenons 2 symboles par carte. Si on note [ 1 2 ] la première carte, alors la deuxième carte devra être de la forme [ 1 3 ], puis on a deux solutions pour une troisième carte : [ 1 4 ] ou [ 2 3 ]. Seulement, dans le premier cas, il n'est plus possible d'ajouter d'autres cartes qui ne soient pas de la forme [ 1 x ], ce qui signifie que 1 est un unique symbole commun à chaque paire de cartes, ce qui n'est pas vraiment ce qu'on veut. Dans l'autre cas, on obtient un système constitué de { [ 1 2 ], [ 1 3 ], [ 2 3 ] } qui répond bien à nos attentes.

Plan de Fano Avec trois symboles par carte, on peut construire de même un ensemble de façon itérative, dont chacun pourra s'assurer que chaque couple de cartes possède exactement un unique chiffre en commun : { [ 1 2 3 ], [ 1 4 5 ], [ 2 4 6 ], [ 3 5 6 ] }. On a aussi la possibilité suivante :

[ 1 2 3         ]
[ 1     4 5     ]
[   2   4   6   ]
[ 1         6 7 ]
[   2     5   7 ]
[     3 4     7 ]
[     3   5 6   ]

Soit maintenant T l'ensemble des parties de \([|1,7|]\) à 2 éléments. Un élément de T ne peut être inclus dans deux cartes différentes, sinon leur intersection aurait strictement plus d'un chiffre en commun. De plus, à chaque carte peuvent être associés 3 éléments de T, nécessairement différents d'une carte à l'autre, ce qui fait 21 éléments, soit le cardinal de T. Conséquemment chaque élément de T est inclus dans une et une seule des cartes.

Un ensemble \(S\) à \(n\) éléments et un ensemble de parties \(K\) de \(S\) à \(k\) éléments (blocs) tels que chaque partie de \(S\) à \(t\) éléments soit incluse exactement dans un bloc constituent un système de Steiner \(S(t,k,n)\). Le jeu de cartes précédent est donc isomorphe à \(S(2,3,7)\), ce qu'on peut illustrer par le plan de Fano ci-dessus, où les symboles sont les chiffres et les cartes les lignes. Deux lignes quelconques (blocs) s'intersectent toujours au niveau d'un unique symbole.

Remarquons enfin qu'à chaque carte on peut associer un mot binaire, les chiffres codant les positions des bits allumés. Les 7 mots sont tous sur une sphère de rayon 3 et Hamming-équidistants de 4, leur énumération forme la matrice d'incidence du plan de Fano.

[ 1 1 1 0 0 0 0 ]
[ 1 0 0 1 1 0 0 ]
[ 0 1 0 1 0 1 0 ]
[ 1 0 0 0 0 1 1 ]
[ 0 1 0 0 1 0 1 ]
[ 0 0 1 1 0 0 1 ]
[ 0 0 1 0 1 1 0 ]

Pour finir, un petit exercice au lecteur : le jeu de Dobble est-il, tel le jeu de Set, un système de Steiner, et si oui, lequel ?

La réponse : comme l'explique très bien cet article, la structure sous-tendant le Dobble est le plan projectif d'ordre 7 \(PG(2,7)\) (le plan de Fano est d'ordre 2), qui est aussi le système \(S(2,8,57)\). Le jeu devrait donc avoir en principe 57 symboles différents et 57 cartes, or il n'en comporte que 55, apparemment pour des raisons techniques de production. Il en résulte une certaine asymétrie, puisque 15 symboles apparaissent moins fréquemment que les autres, dont un (, celui commun aux deux cartes manquantes) pourrait être qualifié de "rare". Les plus malins en déduiront éventuellement des stratégies gagnantes basées sur ces statistiques.

Notes

[1] Le jeu existe en 5 modes : la tour infernale, le puits, la patate chaude, attrapez-les tous, le cadeau empoisonné.