Radjaïdjah Blog

Certaines prédictions et performances magiques sont réalisées avec des cartes Zener^[1].

Un jeu de cartes Zener est composé de cinq fois cinq cartes représentant un motif pouvant être associé à un chiffre entre 1 et 5 : le cercle (une boucle), une croix (deux segments perpendiculaires), une vague (troits traits ondulés), un carré (quatre côtés), et une étoile (5 branches).

Certains magiciens se sont demandés s'il existait un ordre intéressant pour présenter un paquet de cartes Zener.

Et il y en a au moins un : en enlevant une carte étoile, on a 24 cartes qui peuvent être rangées de façon à ce que 2 cartes consécutives indiquent de façon déterministe l'identité de la suivante, de manière cyclique (invariante par coupe)^[2].

\(1~1~4~5~3~1~3~3~2~5~4~3~4~4~1~5~2~4~2~2~3~5~1~2\)

Evidemment n'importe quelle permutation des symboles conserve la propriété mais celle-ci présente l'avantage que la formule donnant le chiffre à apparaître en fonction des deux précédents est très simple, il suffit de doubler modulo cinq leur somme :

\(U_n = 2 * (U_{n-2} + U_{n-1})~mod~5\)

où dans la suite, le symbole \(5\) dénote le zéro.

En ipython, le chiffre à venir est ainsi donné par :

(_+__) * 2 % 5

Autrement dit, il s'agit de la suite de Fibonacci doublée dans \(\bf{Z}_5\).

Sur les 25 éléments de \(\bf{Z}_5 \times \bf{Z}_5\), le seul couple absent de la suite est \( (5,5) \), neutre. Les quatre autres \( (n,n) \) sont équirépartis.

Cette suite à valeurs dans un corps fini semble avoir été découverte par le magicien Richard Osterlind qui cherchait à fabriquer un stack Zener d'aspect aléatoire, dans son livre The Very Modern Mindreader. Par son caractère cyclique il est tentant de lui attribuer le nom de "cercle d'Osterlind".

Pour ne pas trop dévoiler de magie, qui est une discipline ornée de ses mystères, les tours pouvant être créés à partir de ce cercle sont laissés à l'imagination des visiteurs.