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jeudi 24 septembre 2015

Paradoxe de l'échelle

La nouvelle année donne l'occasion de rappeler que 2015 est l'année internationale de la lumière, qui a même son blog.

À ce propos, l'expérience de pensée dite paradoxe de l'échelle (ladder paradox[1]), en relativité restreinte, est la suivante :

« Un coureur très rapide court à 0,9c en portant sur son épaule une échelle de 10 mètres. Il doit traverser une grange de 10 mètres dont on peut fermer les deux portes opposées simultanément (par exemple par des faisceaux laser).

Du point de vue de l'observateur lié à la grange, l'échelle est très rétrécie dans le sens du parcours, et il sera facile de fermer les «portes» sans dommage un très bref instant quand l'échelle ainsi rétrécie sera dans la grange. Mais dans le système lié au coureur, c'est la grange elle-même qui est rétrécie dans le sens du parcours, et l'opération est impossible ! N'y a-t-il pas là une contradiction, puisqu'en relativité les phénomènes sont censés justement ne pas dépendre du repère depuis lequel on les observe ? »

Le paradoxe de l'échelle

Ci-dessus : (1) : grange et échelle au repos, (2) : en action du point de vue de la grange, (3) : en action du point de vue du coureur.

Résolution qualitative de ce paradoxe : il y a effectivement une contradiction, mais c'est dans l'énoncé qu'elle se trouve : il s'agit de l'emploi du mot «simultanément» : ce qui est simultané dans un repère ne l'est pas dans un autre. Le coureur verra apparemment la porte 1 s'ouvrir, puis les deux portes rester ouvertes simultanément pour lui, et la seconde se fermer sans encombre derrière son passage.

Regardons une résolution plus quantitative du paradoxe.




Tout d'abord, la longueur de l'échelle dans la figure 2, \(d^G_{E}\) est égale à la longueur de l'échelle au repos \(d^0_{E}\) divisée par le facteur de Lorentz \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx2,29\), soit environ \(4,36\,m\) si \(v=0,9c\) (contraction de la longueur propre décrite par les transformations de Lorentz). Il en est de même pour la distance entre les portes dans la figure 3, \(d^C_{P}=d^0_{P}/\gamma\).

On considère l'évènement « l'échelle rentre dans la grange » comme zéro spatio-temporel dans les deux référentiels.

Dans le référentiel G de la grange, la distance entre les portes est \(d^G_{P} = 10\,m\) et l'échelle mesure \(d^G_{E} \approx 4,36\,m\) ).

  • I - Le premier échelon entre dans la grange à \(t^G_{1\rightarrow} = 0\).
  • II - Le dernier échelon entre dans la grange à \(t^G_{D\rightarrow} = d^G_{E}/v \approx 16\,ns\).
  • III - Le premier échelon sort de la grange à \(t^G_{\rightarrow 1} = t^G_{1\rightarrow}+d^G_{P}/v \approx 37\,ns\).
  • IV - Le dernier échelon sort de la grange à \(t^G_{\rightarrow D} = t^G_{2\rightarrow}+d^G_{P}/v \approx 53\,ns\).

Conclusion 1 : dans le référentiel de la grange, le dernier échelon entre dans la grange avant que le premier échelon n'en sorte, donc un intervenant extérieur pourrait bien enfermer l'échelle dans la grange durant quelques nanosecondes (fermeture puis ouverture simultanées des deux portes), par exemple avec \(t^G_{1\downarrow}=t^G_{2\downarrow}:=t^G_{D\rightarrow} \approx 16\,ns\) et \(t^G_{1\uparrow}=t^G_{2\uparrow}:=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns\).

Paradoxe de l'echelle - référentiel de la grange

Ci-dessus : Paradoxe de l'échelle - point de vue de la grange.



Dans le référentiel C du coureur, la distance entre les portes est \(d^C_{P} \approx 4,36\,m\) et l'échelle mesure \(d^C_{E} = 10\,m\).

  • I - Le premier échelon entre dans la grange à \(t^C_{1\rightarrow} = 0\).
  • III - Le premier échelon sort de la grange à \(t^C_{\rightarrow 1} = t^C_{1\rightarrow}+d^C_{P}/v \approx 16\,ns\).
  • II - Le dernier échelon entre dans la grange à \(t^C_{D\rightarrow} = d^C_{E}/v \approx 37\,ns\).
  • IV - Le dernier échelon sort de la grange à \(t^C_{\rightarrow D} = t^C_{2\rightarrow}+d^C_{P}/v \approx 53\,ns\).

Conclusion 2a : dans le référentiel du coureur, le premier échelon sort de la grange avant que le dernier échelon n'y entre (inversion de l'ordre temporel des évènements), donc l'échelle est toujours plus longue que la grange.

Les évènements "la porte 1 se ferme", "la porte 2 se ferme", "la porte 1 s'ouvre", et "la porte 2 s'ouvre" ont pour coordonnées spatio-temporelles respectives dans le référentiel de la grange :

\( \left\{\begin{array}{ll} x^G_{1\downarrow}=0 \\ t^G_{1\downarrow}=t^G_{D\rightarrow} \approx 16\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{2\downarrow}=d^G_P=10\,m \\ t^G_{2\downarrow}=t^G_{D\rightarrow} \approx16\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{1\uparrow}=0 \\ t^G_{1\uparrow}=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns \end{array}\right. \), \( \qquad \left\{\begin{array}{ll} x^G_{2\uparrow}=d^G_P=10\,m \\ t^G_{2\uparrow}=t^G_{\rightarrow 1} \approx 37\,ns \end{array}\right. \).

Examinons-les dans le référentiel C du coureur.

  • Pour le coureur, la première porte se ferme à \(t^C_{1\downarrow}=\gamma\cdot {t^G_{1\downarrow}} \approx 37\,ns\) (i.e. quand le dernier échelon rentre dans la grange) puis s'ouvre à \(t^C_{1\uparrow}=\gamma\cdot {t^G_{1\uparrow}} \approx 85\,ns\).
  • Pour le coureur, la seconde porte se ferme à \(t^C_{2\downarrow}=\gamma\cdot \left({t^G_{2\downarrow}- v\cdot d^G_P/c^2}\right) \approx -32\,ns\) puis s'ouvre à \(t^C_{2\uparrow}=\gamma\cdot \left({t^G_{2\uparrow}- v\cdot d^G_P/c^2}\right) \approx 16\,ns\).

Conclusion 2b : du point de vue du coureur, la deuxième porte se ferme avant même que l'échelle ne rentre (il lui reste encore environ 9m avant d'atteindre la grange !), puis s'ouvre juste au moment où le premier échelon sort de la grange, tandis que la première porte se ferme juste quand l'échelle vient de la franchir, pour se réouvrir bien plus tard.

Paradoxe de l'echelle - référentiel du coureur

Ci-dessus : Paradoxe de l'échelle - point de vue du coureur.



On retrouve l'idée de relativité de la simultanéité : pour le coureur les deux portes ne se ferment pas simultanément.

Pour finir, une horloge située dans la grange décompterait 21 secondes entre la fermeture simultanée des deux portes et leur ouverture, alors que le coureur voit 48 secondes (\(\gamma\) fois plus) s'écouler entre la fermeture de la première porte et son ouverture, ou entre la fermeture de la seconde porte et son ouverture. Cela illustre le phénomène de dilatation du temps : le coureur voyant 48 secondes passer sur sa montre observerait l'horloge de la grange n'avancer que de 21 secondes, comme au ralenti. Réciproquement un observateur dans la grange verrait également la montre du coureur tourner au ralenti. L'équivalent temporel du paradoxe de l'échelle est le paradoxe des jumeaux, ou paradoxe de Langevin, déjà évoqué dans l'article sur l'âge du monde.

Question subsidiaire : que se passe-t-il si les portes sont maintenues fermées ?

Références : E. F. Taylor & J.A. Wheeler, Spacetime Physics (problème 5-4), Ladder Paradox, The Pole-Barn paradox.

Note

[1] appelé également Pole-Barn paradox (paradoxe perche-grange).

lundi 24 septembre 2012

L'âge du monde : science vs torah

Dans une série de quatre présentations, intitulée « L'âge du monde », le Rav Ron Chaya s'attèle à une tâche à la fois délicate et ambitieuse : comment concilier l'âge du monde estimé par la science (14 milliards d'années) avec celui indiqué par la torah (6000 ans) ? Cela semble a priori tout à fait contradictoire, mais un adage ne dit-il pas qu'« un peu de science éloigne de Dieu, beaucoup de science y ramène » ?

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lundi 31 octobre 2011

Nous n'utilisons que 10% de notre cerveau

Dans les soirées un peu New Age, on tombe toujours sur quelqu'un qui l'affirme : chacun de nous n'utilise que 10% de son cerveau, qui a donc un potentiel bien supérieur à ce qu'on imagine. Si la seconde partie est probablement vraie, la première est démentie par la science.

Les fMRI (functional Magnetic Resonance Imaging, i.e. Imagerie par Résistance Magnétique fonctionnelle) et PET (Positron Emission Tomography, i.e. Tomographie par Émission de Positrons) mettent en évidence que quasi-toutes les zones du cerveau (qui n'auraient pas été endommagées suite à un accident) sont actives dans toutes les conditions (sommeil, éveil...). Donc, nous utilisons en permanence presque 100% de notre cerveau.

Alors que dire à quelqu'un qui affirme que nous n'utilisons que 10% de notre cerveau ?

  1. Alors quels sont les 90% inutilisés ?
  2. Si tu acceptes une ablation des 90% que tu n'utilises pas, je te donne 1000 €.

L'origine de ce mythe est peu claire. Il fut un temps où des soi-disant personnes aux capacités extra-sensorielles affirmaient qu'elles, contrairement à nous pauvres humains ordinaires réduits à 10%, pouvaient utiliser 100% de leur capacité cérébrale, ce qui leur permettait de justifier leurs pouvoirs extraordinaires. D'autres personnes se basaient sur cet argument pour vendre une alléchante méthode permettant de passer de 10% à 100%...

Source : B.L. Beyerstein, Whence Cometh the Myth that We Only Use 10% of Our Brains? in Mind Myths. Exploring Popular Assumptions about the Mind and Brain edited by S. Della Sala, Chichester: John Wiley and Sons, pages 3-24, 1999.

Cela étant dit, on peut aussi voir cela d'une autre perspective. Si ce genre d'assertions, indépendamment de leur véracité, encourage à utiliser davantage son cerveau pour se rapprocher de son potentiel, de même que les concepts de Père Noël ou de paradis encouragent à être attentionné, alors il devient évident que nous n'utilisons effectivement que 10% de notre cerveau.

We are making use of only a small part of our possible mental and physical resources.

William James, The Energies of Men (1908)

jeudi 15 septembre 2011

Bleu Rose Rouge

Liberté, Égalité, Fraternité, c'est la devise de la France, la trinité de la République.

La liberté, c'est pouvoir choisir ses actions.

L'égalité, c'est l'assurance de bénéficier des mêmes droits et traitements que ses semblables.

La fraternité, c'est l'entraide parmi les citoyens.

Dès lors, une question se pose : comment un peuple peut-il être libre, égalitaire, et fraternel à la fois ? Dans son essai "Justice et fraternité" (1848), Frédéric Bastiat écrit :

Mais il ne nous est pas démontré que la fraternité se puisse imposer. Si même, partout où elle se manifeste, elle excite si vivement notre sympathie, c'est parce qu'elle agit en dehors de toute contrainte légale. La fraternité est spontanée, ou n'est pas. La décréter, c'est l'anéantir. La loi peut bien forcer l'homme à rester juste; vainement elle essaierait de le forcer à être dévoué.

Ce n'est pas moi, du reste, qui ai inventé cette distinction. Ainsi que je le disais tout à l'heure, il y a dix-huit siècles, ces paroles sortirent de la bouche du divin fondateur de notre religion:

« La loi vous dit : Ne faites pas aux autres ce que vous ne voudriez pas qui vous fût fait. Et moi, je vous dis : Faites aux autres ce que vous voudriez que les autres fissent pour vous. »

Et voilà ce que dit Edgar Morin à ce sujet :

Ce qui est intéressant, c’est que cette formule est complexe, les trois termes sont à la fois complémentaires et antagonistes. La liberté toute seule tue l’égalité et même la fraternité. Imposée, l’égalité détruit la liberté sans réaliser la fraternité. Quant à la fraternité, qui ne peut être instituée par décret, elle doit réguler la liberté et réduire l’inégalité. C’est une valeur qui relève en fait de la liaison de soi-même avec l’intérêt général, c’est-à-dire profondément du civisme. Là où dépérit l’esprit citoyen, là où l’on cesse de se sentir responsable et solidaire d’autrui, la fraternité disparaît. Ces trois notions sont donc très importantes. Il y a des moments historiques où le problème crucial est celui de la liberté, surtout dans des conditions d’oppression, comme sous l’Occupation en France, et il y en a où le problème majeur est celui de la solidarité, ce qui est le cas aujourd’hui.

Reformulée dans une dimension politique, la devise répuplicaine devient : Libéralisme, Communisme, Socialisme. Un drapeau représentatif pourrait être celui représenté ci-dessous, bleu horizon pour le libéralisme, rose SFIO pour le socialisme, et rouge URSS pour le communisme.

Liberté Fraternité Égalité

On constate donc que la devise de la République couvre un très large spectre de l'échiquier politique français !

En caricaturant un peu, on voit apparaître ainsi une différence essentielle entre la gauche et la droite.

  • La droite estime que l'homme est naturellement bon, et va donc privilégier la liberté.
  • La gauche estime que l'homme est naturellement mauvais, et va privilégier l'égalité et la fraternité à travers la contrainte de la loi.